Algoritmo do Newton-Raphson
Na vizinhança de um ponto
@Latex x_k \in I,
vale o Fórmula de Taylor:
@Latex f(x) \simeq f(x_k)+(x-x_k) f' (x_k)
Pondo [;f(x)=0;], quando
@Latex f'(x_k)\neq 0:
@Latex x=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}
O que leva a função iterativa:
@Latex \varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}
Derivada:
@Latex \varphi'(x)=\frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2}
Supondo que em um intervalo,
@Latex I,
suficientementre pequeno e contendo uma raíz,
@Latex \xi,
e que
@Latex f'(\xi) \neq 0,
podemos fazer
@Latex |\varphi'(x)|< 1.
Ou seja,
sobre estas condições, o algoritmo Newton-Raphson converge.