Interpolação de Lagrange
Lagrange introduziu uma outra abordagem. Considere as Funções de Lagrange,
@Latex i=0,\ldots,n:
@Latex H_i(x)=\frac{(x-x_0) \cdot \ldots \cdot(x-x_{i-1}) \cdot (x-x_{i+1}) \cdot\ldots \cdot (x-x_n)}{(x_i-x_0) \cdot \ldots \cdot(x_i-x_{i-1}) \cdot (x_i-x_{i+1}) \cdot\ldots \cdot (x_i-x_n)}
Observe que funçõesas,
@Latex H_i(x),
são polinômios de grau
@Latex n,
e:
@Latex H_i(x_j)=\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ccc}1,&i=j\\0,& i \neq j\\\end{array}\right.
O Polinômio de Interplação de Lagrange :
@Latex P_n(x)=y_0 H_0(x)+y_1 H_1(x)+ \ldots+y_n H_n(x),
satisfaz as equações:
@Latex P_n(x_i)=y_i,\quad i=0,\ldots,n
@SubdirsList
-
Para o uso no seguinte, escrevemos o Polinêmio Interpolador para
@Latex n=1
ou seja 2 pontos,
@Latex (x_0,y_0)
e
@Latex (x_1,y_1):
@Latex H_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\qquad H_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}
Polinômio Interpolador linear:
@Latex P_1(x)=-y_0 \frac{x-x_1}{x_1-x_0}+y_1 \frac{x-x_0}{x_1-x_0}= \frac{1}{x_1-x_0}\left\{(y_1-y_0) x+x_1y_0-x_0y_1\right\}