Regra dos Trapézios
Aproximamos a função com sua Polinêmio Interplador de Lagrange, [;P_1(x);].
Calculamos:
[;
\mathcal{H}_0(x)
=
\int_{x_0}^{x_1} H_0(x) dx
=
-\frac{1}{x_1-x_0} \int_{x_0}^{x_1} (x-x_1) dx
=
;]
[;
-\frac{1}{x_1-x_0}
\left\{
\frac{1}{2} \left( x_1^2-x_0^2 \right)-x_1(x_1-x_0)
\right\}
=
-\frac{1}{2}(x_1+x_0)+x_1
=
\frac{1}{2}(x_1-x_0)
;]
[;
\mathcal{H}_1(x)
=
\int_{x_0}^{x_1} H_1(x) dx
=
\frac{1}{x_1-x_0} \int_{x_0}^{x_1} (x-x_0) dx
=
;]
[;
\frac{1}{x_1-x_0}
\left\{
\frac{1}{2} \left( x_1^2-x_0^2 \right)-x_0(x_1-x_0)
\right\}
=
\frac{1}{2}(x_1+x_0)-x_0
=
\frac{1}{2}(x_1-x_0)
;]
Juntando:
[;
\int_{x_0}^{x_1} f(x) dx \simeq
\frac{1}{2}(x_1-x_0)(y_0+y_1)
;]
@Code ../../Code/Integration.py Trapezoid
Para obter uma aproximação melhor, dividimos o intervalo em [;n;] subintervalos,
[;[a=x_0,x_1,\ldots,x_{n-1},x_n=b];], do mesmo comprimento:
[;
x_i=a+i\frac{x_n-x_0}{n},
~ i=0,\ldots,n
;]
@Code ../../Code/Integration.py Trapezoids_1
Aplicamos a Regra dos Trapézios em cada um deles:
[;
\int_a^b f(x)
=
\sum_{i=0}^{n-1}
\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)
\simeq
\sum_{i=0}^{n-1}
\frac{x_{i+1}-x_i}{2} \left\{ f(x_i)+f(x_{i+1}) \right\}
;]
[;
=
\frac{1}{2} f(x_0)
+
\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)
+\frac{1}{2} f(x_n)
;]
@Code ../../Code/Integration.py Trapezoids_R
@Code test.py