\begin{center}
     \begin{tabular}{ll}
       \textbf{Curso:}       & Matem\'atica\\
       \textbf{Data:}       & 15/12/2017\\
       \textbf{Disciplina:}       & C\'alculo Num\'umerico\\
       \textbf{Pasta Resposta:}       & Prova 2\\
       \textbf{Prova:}       & II\\
    \end{tabular}
\end{center}
\begin{small}
\begin{enumerate}
\item{Arquivo resposta: N01.py.

\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Em Python, define os vetores:
 
 \[
  \Vector{v}_0=
  \begin{pmatrix}
   -2\\1\\1\\1
  \end{pmatrix},
  \quad
  \Vector{v}_1=
  \begin{pmatrix}
   1\\-2\\1\\1
  \end{pmatrix},
  \quad
  \Vector{v}_2=
  \begin{pmatrix}
   1\\1\\-2\\1
  \end{pmatrix},
  \quad
  \Vector{v}_3=
  \begin{pmatrix}
   1\\1\\1\\-2
  \end{pmatrix},,
 \]
 e a matriz:
  \[
  \Matrix{V}=
  \begin{pmatrix}
   -2&1&1&1\\
   1&-2&1&1\\
   1&1&-2&1\\
   1&1&1&-2\\
  \end{pmatrix}.
 \]

   \item  \emph{1 pt}. Encontre numericamente a matriz inversa, $\Matrix{V}^{-1}$.
   Calcule o res\'iduo $||\Matrix{V}~\Matrix{V}^{-1}-\Matrix{I}||/||\Matrix{V}||$.
   \item \emph{1 pt}. Sem fazer c\'alculos, encontre soluções para as equações: $\Matrix{A}~\Vector{x}_i=\Vector{v}_i$, $i=0,..,3$.
   Resolve as equações numericamente e calcule os res\'iduos $||\Matrix{A}~\Vector{x}_i-\Vector{v}_i||/||\Vector{v}_i||$
\end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N02.py.

\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Em Python, define os polinômios, representado como vetores:
 \begin{enumerate}
  \item $P_0(x)=x-1$;
  \item $P_1(x)=x^2-x+1$;
  \item $P_2(x)=x^3-x^2+x-1$;
  \item $P_3(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$;
  \item $P_4(x)=x^5-x^4+x^3-x^2+x-1$;  
 \end{enumerate}
 Calcule os valores desses Polinômios para $x=-5,-4,...,4,5$, veja a tabela abaixo:
 
\scalebox{0.75}{
 \input{Table.2.1}
}

 \item \emph{1 pt}. Calcule, representado com vetores, os polinômios: $Q_{ij}(x)=P_i(x) P_j(x)$.
 \item \emph{1 pt}. Define uma função, \texttt{def Polynomia\_Derive(P)}, que como entrada aceita
   um polinômio, $P$, retornando a derivada do polinômio, $P'$. Calcule os
   valores das derivadas, $P_i'(x)$ para $x=-5,-4,...,4,5$.
\end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N03.py.

Dados os pontos abaixo:

\begin{center}\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
    $i$ &  0 & 1  &  2 &  3 & 4 & 5 & 6\\
    \hline
    $x$ & -3 & -2 & -1 &  0 & 1 & 2 & 3\\
    $y$ &  5 &  1 & -4 & -1 & 3 & 2 & 1\\
\end{tabular}\end{center}

\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Calcule como polinômios, os interpoladores do Lagrange, $H_i(x)$, para $i=0,...,6$.
 \item \emph{1 pt}. Calculos os valores, $H_i(x_j)$. Comentar os resultados.
 \item \emph{1 pt}. Calculo o polinômio interpolador de Lagrange, $\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^6 y_i H_i(x)$ e seus
  valores, $P(x_j)$. Comentar os resultados.
\end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N04.py.


\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}.
 Implemente como funções Python:
 \begin{enumerate}
  \item $f_0(x)=e^{-x}$,
  \item $f_1(x)=xe^{-x}$,
  \item $f_2(x)=x^2e^{-x}$,
  \item $f_3(x)=x^3e^{-x}$,
  \item $f_4(x)=x^4e^{-x}$.
  \end{enumerate}
 \item \emph{1 pt}.
 Encontre e implemente também seus primitivos, $F_i(x)=\int f_i(x) dx$, $i=0,...,4$.
 \item \emph{1 pt}.
 Para os integrais, $\int_0^1 f_i(x) dx$, calcule:
    \begin{enumerate}
     \item Valores analíticos;
     \item Valores estimados usando a Regra dos Trapézios Repetida com 10,...,100 intervalos;
     \item Valores estimados usando a Regra 1/3 do Simpson Repetida com 10...,100 intervalos;
     \item Os resíduos para ambas as estimações.
    \end{enumerate}
    

\end{enumerate}




}
\end{enumerate}
\end{small}
