\begin{center}
     \begin{tabular}{ll}
       \textbf{Curso:}       & Matem\'atica\\
       \textbf{Data:}       & 22/12/2017\\
       \textbf{Disciplina:}       & C\'alculo Num\'umerico\\
       \textbf{Pasta Resposta:}       & Prova Substituitiva\\
       \textbf{Prova:}       & II\\
    \end{tabular}
\end{center}
\begin{small}
\begin{enumerate}
\item{Arquivo resposta: N01.py.

\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Em Python, define como uma lista de vetores:
 
 \[
  \Vector{v}_0=
  \begin{pmatrix}
   0\\1\\2\\3
  \end{pmatrix},
  \quad
  \Vector{v}_1=
  \begin{pmatrix}
   0\\-1\\2\\-3
  \end{pmatrix},
  \quad
  \Vector{v}_2=
  \begin{pmatrix}
   0\\-1\\-2\\3
  \end{pmatrix},
  \quad
  \Vector{v}_3=
  \begin{pmatrix}
   0\\1\\-2\\-3
  \end{pmatrix},
 \]
 e calcule as matrices de Vandermonte:
  \[
  \Matrix{V}_i=\Matrix{V}_i(\Vector{v}_i),
  i=0,..,3.
 \]

   \item  \emph{1 pt}. Calcule os vetores $\Matrix{V}_i \Vector{v}_j$.
   \item \emph{1 pt}. Sendo as matrizes do tipo Vandermonte, o valor analítica do seu determinant é dado por:
   
   \[ \displaystyle
     \det{\Matrix{V}_i}=
     \prod_{i=0<j<n} (v_j - v_i)
   \]
   Para os vetores $\Vector{v}_i$, calcule os produtos do lado direito. Calcule também, usando eliminação do Gauss,
   o valor numérico do determinante, além dos resídios absoluto e relativo.
   Demonstre os resultados em uma tabela da seguinte forma:
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|rrrr|}
\hline
i & Anal & Num & Abs & Rel\\
\hline
0 & 0.236073 & 0.236073 & 4.163336e-16 & 1.763582e-15\\
1 & 13.620334 & 13.620334 & 0.000000e+00 & 0.000000e+00\\
2 & -8.721354 & -8.721354 & 0.000000e+00 & 0.000000e+00\\
3 & -5.135052 & -5.135052 & 2.664535e-15 & 5.188916e-16\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Hint:}
\begin{verbatim}
 def Det_V(v):
    det=1.0
    for i in range( len(v) ):
        for j in range(i+1,len(v) ):
            det*=(v[j]-v[i])
            
    return det
\end{verbatim}

\end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N02.py.


\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Em Python, define as funções e seus primeiros e segundos derivados:
 \begin{enumerate}
  \item $f_0(x)=xe^x$;
  \item $f_1(x)=x \sin{x}$;
  \item $f_2(x)=x\cos{x}$;
  \item $f_3(x)=\log{1+x}$;
  \item $f_4(x)=x\sqrt{1+x}$.
 \end{enumerate}

 \item \emph{1 pt}. Estimando numericamente o primeiro derivado, para cada uma das funções,
 gere uma tabela com a de baixo:
 
\begin{center}

\begin{tabular}{|cccccc|}
\hline
$n$ & $x$ & $f$ & $f'_{a}$ & $f'_{n}$ & $r'_1$\\
\hline
4 & 0.100000 & 0.104881 & 1.096482 & 1.096482 & 8.126986e-12\\
4 & 0.200000 & 0.219089 & 1.186732 & 1.186732 & 4.682138e-12\\
4 & 0.300000 & 0.342053 & 1.271734 & 1.271734 & 5.735448e-11\\
4 & 0.400000 & 0.473286 & 1.352247 & 1.352247 & 6.649942e-12\\
4 & 0.500000 & 0.612372 & 1.428869 & 1.428869 & 1.195546e-11\\
4 & 0.600000 & 0.758947 & 1.502082 & 1.502082 & 9.051298e-12\\
4 & 0.700000 & 0.912688 & 1.572278 & 1.572278 & 2.013441e-11\\
4 & 0.800000 & 1.073313 & 1.639783 & 1.639783 & 2.414526e-11\\
4 & 0.900000 & 1.240564 & 1.704869 & 1.704869 & 3.845456e-11\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

 \item \emph{1 pt}. Estimando numericamente o segundo derivado, para cada uma das funções,
 gere uma tabela com a de baixo:
 
\begin{center}

\begin{tabular}{|cccccc|}
\hline
$n$ & $x$ & $f$ & $f''_{a}$ & $f''_{n}$ & $r_2$\\
\hline
4 & 0.100000 & 0.104881 & 0.931793 & 0.931782 & 1.132865e-05\\
4 & 0.200000 & 0.219089 & 0.874835 & 0.874842 & 8.258883e-06\\
4 & 0.300000 & 0.342053 & 0.826459 & 0.826450 & 1.028323e-05\\
4 & 0.400000 & 0.473286 & 0.784786 & 0.784789 & 3.576587e-06\\
4 & 0.500000 & 0.612372 & 0.748455 & 0.748512 & 7.637601e-05\\
4 & 0.600000 & 0.758947 & 0.716454 & 0.716455 & 1.592545e-06\\
4 & 0.700000 & 0.912688 & 0.688013 & 0.688005 & 1.090419e-05\\
4 & 0.800000 & 1.073313 & 0.662539 & 0.662581 & 6.405829e-05\\
4 & 0.900000 & 1.240564 & 0.639565 & 0.639655 & 1.413567e-04\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
\end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N03.py.

Para as funções, $f_0,..,f_4$, da questão anterior:

\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Implemente seus primitivos como funções Python
 e calcule analíticamente os valor dos integrais:
 $\displaystyle \int_1^2 f_i(x) dx$
 \item \emph{1 pt}. Estime os valor dos integrais do questão anterior, utilizando
 a Regra dos Trapézios Repetida com $i=5,10,...,45,50$ intervalos.
 Calcule os resíduos relativos e gere uma tabela da forma:
 
 \begin{center}

 \begin{tabular}{ccccccc}
$n$ & $i$ & $a$ & $b$ & Ana & Trapez & $r$\\
\hline
3 & 5 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.908987 & 6.103794e-04\\
3 & 10 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.909404 & 1.526751e-04\\
3 & 15 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.909481 & 6.786222e-05\\
3 & 20 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.909508 & 3.817380e-05\\
3 & 25 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.909520 & 2.443162e-05\\
3 & 30 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.909527 & 1.696655e-05\\
3 & 35 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.909531 & 1.246528e-05\\
3 & 40 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.909534 & 9.543765e-06\\
3 & 45 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.909536 & 7.540770e-06\\
3 & 50 & 1.000000 & 2.000000 & 0.909543 & 0.909537 & 6.108034e-06\\
\hline
\end{tabular}

 \end{center}
 
 
 \item \emph{1 pt}. Estime os valor dos integrais do questão anterior, utilizando
 a Regra 1/3 do Simpson Repetida com $i=5,10,...,45,50$ intervalos.
 Calcule os resíduos relativos e gere uma tabela da forma:
 
 \begin{center}
\begin{tabular}{ccccccc}
$n$ & $i$ & $a$ & $b$ & Ana & Simpson & $r$\\
\hline
4 & 5 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 2.376000e-08\\
4 & 10 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 1.487775e-09\\
4 & 15 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 2.939840e-10\\
4 & 20 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 9.303056e-11\\
4 & 25 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 3.810828e-11\\
4 & 30 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 1.837970e-11\\
4 & 35 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 9.919194e-12\\
4 & 40 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 5.814329e-12\\
4 & 45 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 3.629458e-12\\
4 & 50 & 1.000000 & 2.000000 & 2.394158 & 2.394158 & 2.382417e-12\\
\hline
\end{tabular}

 \end{center}


\end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N04.py.

Dado dois conjuntos de pontos em $\mathbb{R}$ com mesmos abscissas, conforme a tabela abaixo:

\begin{center}\begin{tabular}{c|ccccccc}
 $x$   & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
 \hline
 $y^1$ & 5 & 1 & -2 & 3 & 0 & -2 & 1\\
 $y^2$ & 1 & -2 & 0 & 3 & -2 & 1 & 5\\
 \hline
\end{tabular}\end{center}

\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Calcule as funções interpoladores de Lagrange, $H_i(x)$, para as abscissas e
 calcule seus valores nos pontos $x=0,1,...,6$, produzindo uma tabela como abaixo:

\begin{center}

 \begin{tabular}{cccccccc}
i & 0.000000 & 1.000000 & 2.000000 & 3.000000 & 4.000000 & 5.000000 & 6.000000\\
\hline
0 & 1.000000 & -0.000000 & -0.000000 & -0.000000 & -0.000000 & -0.000000 & -0.000000\\
1 & 0.000000 & 1.000000 & 0.000000 & 0.000000 & -0.000000 & -0.000000 & -0.000000\\
2 & 0.000000 & 0.000000 & 1.000000 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000 & -0.000000\\
3 & 0.000000 & -0.000000 & -0.000000 & 1.000000 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000\\
4 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000 & 1.000000 & 0.000000 & 0.000000\\
5 & 0.000000 & -0.000000 & -0.000000 & -0.000000 & 0.000000 & 1.000000 & 0.000000\\
6 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000 & -0.000000 & 1.000000\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
 
 
 
 \item \emph{1 pt}. Calcule o polinômio interpolador de Lagrange, $P_0(x)$, para o primeiro conjunto de ordinadas e
 calcule seus valores nos pontos $x=0,1,...,6$, produzindo uma tabela como abaixo.
    
 \item \emph{1 pt}. Calcule o polinômio interpolador de Lagrange, $P_1(x)$, para o primeiro conjunto de ordinadas e
 calcule seus valores nos pontos $x=0,1,...,6$, produzindo uma tabela como abaixo.
    
\begin{tabular}{cccccccc}
n & 0.000000 & 1.000000 & 2.000000 & 3.000000 & 4.000000 & 5.000000 & 6.000000\\
\hline
0 & 5.000000 & 1.000000 & -2.000000 & 3.000000 & -0.000000 & -2.000000 & 1.000000\\
1 & 1.000000 & -2.000000 & 0.000000 & 3.000000 & -2.000000 & 1.000000 & 5.000000\\
\hline
\end{tabular}

\end{enumerate}




}
\end{enumerate}
\end{small}
