Arquivo resposta: N04.py.
É possivel mostrar que:
\[
 (1):\quad
 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}
 =
 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...
 =
 \frac{\pi^2}{6}
 \]
 
Vale ainda:

\[
 (2):\quad
 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}
 =
 1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\frac{1}{256}+...
 =
 \frac{\pi^4}{90}
 \]

Gostariamos verificar estes resultados supreendentes. Pomos:

\[
 a_p=\frac{1}{n^{2p}}
\]

E escrevemos a soma parcial:
\[
 s_p
 =
 \sum_{n=1}^{p} a_n
 =
 a_1+a_2+...+a_p,
\]

e:

\[
 s=\lim_{p \rightarrow +\infty} s_p
\]

Os resíduos absolutos e relativos são:

\[
 r_a=|s-s_p|,
 \qquad
 r_r=\left|   \frac{s-s_p}{s}   \right|
\]

Observe o código abaixo:

\begin{verbatim}
from math import pi

def a_1(n):
    return 1.0/1.0*( n**2) )
    
def sum_1():
    return pi**2/6.0
    
def Partial(a,p):
    summ=0.0
    for n in range(1,n+1):
       summ+=a(n)
    return summ

sum_num=Partial(a_1,50)
sum_ana=sum_1()
\end{verbatim}



\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Para verificar o resultado (1), gere um trecho de código
 que calcula as somas parciais para 
 $p=[10,10^2,10^3,10^4,10^5]$,
 a soma proposta além dos resíduos absoluto relativo, veja a tabela abaixo.

\begin{center}
\begin{tabular}{lllllll}
$p$ & $n$ & $s$ & $s_n$ & $r_a$ & $r_r$ & $\pi^{2p}/s_p$\\
1 & 10 & 1.644934 & 1.549768 & 9.516634e-02 & 5.785419e-02 & 6.368441\\
1 & 100 & 1.644934 & 1.634984 & 9.950167e-03 & 6.048976e-03 & 6.036515\\
1 & 1000 & 1.644934 & 1.643935 & 9.995002e-04 & 6.076232e-04 & 6.003648\\
1 & 10000 & 1.644934 & 1.644834 & 9.999500e-05 & 6.078967e-05 & 6.000365\\
1 & 100000 & 1.644934 & 1.644924 & 9.999950e-06 & 6.079241e-06 & 6.000036\\
\end{tabular}
\end{center}


   Até onde precisamos ir, para fazer o erro menor do que $10^{-6}$?
   $10^{-8}$? $10^{-10}$?

   \item \emph{1 pt}. Repita a questão anterior, mas verificando o resultado (2).
   
   \item \emph{1 pt}. Seria natural suspeitar que vale uma fórmula do tipo:
   
   \[
    \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2p}}
    = 
    \frac{\pi^{2p}}{f(p)},
   \]
   onde $f(p)$ é uma função com valores inteiros. Isolando $f(p)$:
   \[
    f(p)=
    \frac{\pi^{2p}}{  \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2p}}    }
    \simeq
    \frac{\pi^{2p}}{  s_n    },
   \]
para algum $n$ suficientemente grande. Encontre $f(3)$ e verifique que é inteiro.
   
   \item \emph{1 pt}. Encontre $f(4)$ e $f(5)$ e verifique que também são inteiros.
   $f(6)$ é inteiro?

 \end{enumerate}




