\begin{center}
     \begin{tabular}{ll}
       \textbf{Curso:}       & Estat\'istica\\
       \textbf{Data:}       & 05/07/2018\\
       \textbf{Disciplina:}       & C\'alculo Num\'umerico\\
       \textbf{Pasta Resposta:}       & Prova I\\
       \textbf{Prova:}       & I\\
    \end{tabular}
\end{center}
\begin{small}
\begin{enumerate}
\item{Arquivo resposta: N01.py.
Considere as funções:

\[
 f_1(x)=e^{2x},
 \quad
 f_2(x)=\cos{x^2},
 \quad
 f_3(x)=\sin{x^2},
 \quad
 f_4(x)=e^{-x^2},
 \quad
 f_5(x)=e^{-x^3}
\]


\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Implemente, como funções Python, as funções e suas derivadas.
 \item \emph{1 pt}. Nos pontos $x=1,2,3,4,5$, calcule a estimação numérica
 \emph{asimétrica} (\texttt{d\_f\_1}), o resíduo absoluta e relativa, gerando
 uma tabela da seguinte forma:
 
\begin{center}
\begin{tabular}{lllll}
   $x$&$f_5$&$f_n$&$r_a$&$r_r$\\
   1.000000&-1.103638&-1.103638&5.518987e-07&5.000721e-07\\
   2.000000&-0.004026&-0.004026&2.213976e-08&5.499809e-06\\
   3.000000&-0.000000&-0.000000&6.681564e-16&1.316635e-05\\
   4.000000&-0.000000&-0.000000&1.828315e-31&2.374961e-05\\
   5.000000&-0.000000&-0.000000&1.445262e-57&3.729886e-05\\
\end{tabular} 
\end{center} 

 \item \emph{1 pt}. Repita a questão anterior, mas usando a estimação 
 \emph{simétrica} (\texttt{d\_f}).

 \end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N02.py.


\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Encontre o determinante e a inversa da matriz:
 
 \[
  \Matrix{A}
  =
  \begin{pmatrix}
     1 & 3 & 9 & 27\\
     1 & 5 & 25 & 125\\
     1 & -3 & 9 & -27\\
     1 & 5 & 25 & -125\\
  \end{pmatrix}
 \]
 Qual os resíduos absoluto e reltivo? Exibe (print) a matriz inversa.
 
 \item \emph{1 pt}. Dados o vetores:
 \[
  \Vector{b}_0=
  \begin{pmatrix}
     -1\\2\\2\\2
  \end{pmatrix},
  \quad
  \Vector{b}_1=
  \begin{pmatrix}
     2\\-1\\2\\2
  \end{pmatrix},
  \quad
  \Vector{b}_3=
  \begin{pmatrix}
     2\\2\\-1\\2
  \end{pmatrix}, 
  \quad
  \Vector{b}_3=
  \begin{pmatrix}
     2\\2\\2\\-1
  \end{pmatrix}
 \]

 Resolve as equações: $\Matrix{A}~\Vector{x}=\Vector{b}_i$, $i=0,1,2,3$.
 Em cada caso, calcule também os resíduos absoluto e relativo. Exibe (print)
 as soluções.
 \end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N03.py.

Dado os polinômios:
\[
 P_1(x)=x^2+x+1,
 \qquad
 P_2(x)=x^2+x-1,
 \qquad
 P_3(x)=x^2+x+2,
 \qquad
 P_4(x)=x^2+x-2
\]

\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Calcule e exibe (print) os polinômios: $P_i(x)^n$ para $n=2,3,4,5$.
 Veja o output abaixo.
\[
P_1(x)^1=
1.000000x**2 +1.000000x +1.000000
\]
\[
P_1(x)^2=
1.000000x**4 +2.000000x**3 +3.000000x**2 +2.000000x +1.000000
\]
\[
P_1(x)^3=
1.000000x**6 +3.000000x**5 +6.000000x**4 +7.000000x**3 +6.000000x**2 +3.000000x +1.000000
\]
\[
P_1(x)^4=
...
\]

\item \emph{1 pt}. Calcule os valores de $P_1(x) \cdot P_i(x), i=0,1,2,3$, nas abscissas
$x=1,2,3,4,5$, produzindo uma tabela da forma:

\begin{center}


\begin{tabular}{llllll}
$x$ & $P_1 \cdot P_1$ & $P_1  \cdot P_2$ & $P_1  \cdot P_3$ & $P_1  \cdot P_4$\\
1.000000 & 9.000000 & 3.000000 & 12.000000 & 0.000000\\
2.000000 & 49.000000 & 35.000000 & 56.000000 & 28.000000\\
\end{tabular}

\end{center}
 \end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N03.py.

Dados os pontos abaixo:

\begin{center}\begin{tabular}{c|cccccccccccccc}
    $i$ &  0 & 1  &  2 &  3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
    \hline
    $x$ & -4 & -3 & -2 & -1 &  0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
    $y$ &  3 &  0 & -5 & -2 & 2 & 4 & 1 & -3 & 1\\
\end{tabular}\end{center}

\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Calcule como polinômios (representados por listas), os interpoladores do Lagrange, $H_i(x)$, para $i=0,...,8$.
 \item \emph{1 pt}. Calculos os valores, $H_i(x_j)$. Comentar os resultados.
 \item \emph{1 pt}. Calculo o polinômio interpolador de Lagrange, 
 $\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^8 y_i H_i(x)$ e seus valores, $P(x_j), ~j=0,...,8$. Comentar os resultados.
\end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N04.py.
É possivel mostrar que:
\[
 (1):\quad
 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}
 =
 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...
 =
 \frac{\pi^2}{6}
 \]
 
Vale ainda:

\[
 (2):\quad
 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}
 =
 1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\frac{1}{256}+...
 =
 \frac{\pi^4}{90}
 \]

Gostariamos verificar estes resultados supreendentes. Pomos:

\[
 a_p=\frac{1}{n^{2p}}
\]

E escrevemos a soma parcial:
\[
 s_p
 =
 \sum_{n=1}^{p} a_n
 =
 a_1+a_2+...+a_p,
\]

e:

\[
 s=\lim_{p \rightarrow +\infty} s_p
\]

Os resíduos absolutos e relativos são:

\[
 r_a=|s-s_p|,
 \qquad
 r_r=\left|   \frac{s-s_p}{s}   \right|
\]

Observe o código abaixo:

\begin{verbatim}
from math import pi

def a_1(n):
    return 1.0/1.0*( n**2) )
    
def sum_1():
    return pi**2/6.0
    
def Partial(a,p):
    summ=0.0
    for n in range(1,n+1):
       summ+=a(n)
    return summ

sum_num=Partial(a_1,50)
sum_ana=sum_1()
\end{verbatim}



\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Para verificar o resultado (1), gere um trecho de código
 que calcula as somas parciais para 
 $p=[10,10^2,10^3,10^4,10^5]$,
 a soma proposta além dos resíduos absoluto relativo, veja a tabela abaixo.

\begin{center}
\begin{tabular}{lllllll}
$p$ & $n$ & $s$ & $s_n$ & $r_a$ & $r_r$ & $\pi^{2p}/s_p$\\
1 & 10 & 1.644934 & 1.549768 & 9.516634e-02 & 5.785419e-02 & 6.368441\\
1 & 100 & 1.644934 & 1.634984 & 9.950167e-03 & 6.048976e-03 & 6.036515\\
1 & 1000 & 1.644934 & 1.643935 & 9.995002e-04 & 6.076232e-04 & 6.003648\\
1 & 10000 & 1.644934 & 1.644834 & 9.999500e-05 & 6.078967e-05 & 6.000365\\
1 & 100000 & 1.644934 & 1.644924 & 9.999950e-06 & 6.079241e-06 & 6.000036\\
\end{tabular}
\end{center}


   Até onde precisamos ir, para fazer o erro menor do que $10^{-6}$?
   $10^{-8}$? $10^{-10}$?

   \item \emph{1 pt}. Repita a questão anterior, mas verificando o resultado (2).
   
   \item \emph{1 pt}. Seria natural suspeitar que vale uma fórmula do tipo:
   
   \[
    \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2p}}
    = 
    \frac{\pi^{2p}}{f(p)},
   \]
   onde $f(p)$ é uma função com valores inteiros. Isolando $f(p)$:
   \[
    f(p)=
    \frac{\pi^{2p}}{  \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2p}}    }
    \simeq
    \frac{\pi^{2p}}{  s_n    },
   \]
para algum $n$ suficientemente grande. Encontre $f(3)$ e verifique que é inteiro.
   
   \item \emph{1 pt}. Encontre $f(4)$ e $f(5)$ e verifique que também são inteiros.
   $f(6)$ é inteiro?

 \end{enumerate}




}
\end{enumerate}
\end{small}
