Arquivo resposta: N02.py.

Para as Séries de Potência ou Polinômios de Taylor abaixo, 
encontramos as seguintes funções soma:

\[
(1):\quad
 \sum_{1}^{+\infty} \frac{2^n}{n} x^{n}
 =
 -\log{(1-2x)},
 ~|x|<\frac{1}{2}
\]
\[
(2):\quad
 \sum_{1}^{+\infty} \frac{1}{(n+3)!} x^{n}
 =
 \frac{1}{x^3}
 \left(
    e^x-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-x-1
 \right),
 ~|x| \in \mathbb{R}
\]
\[
(3):\quad
 \sum_{1}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}
 =
 -\frac{x^2}{1+x^2},
 ~|x|<1
\]

Gostariamos verificar numericamente estes resultados. Veja o código abaixo:


\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
   \hline
   \begin{minipage}[t]{0.35\textwidth}
      \begin{verbatim}
def Sum(a,n,x):
    summ=0.0
    
    xi=x
    for i in range(1,n):
        summ+=a(i)*xi
        xi*=x

    return summ
      \end{verbatim}
    \end{minipage}
    &
   \begin{minipage}[t]{0.35\textwidth}
      \begin{verbatim}
def Factorial(n):
    if (n<2): return 1.0

    return n*Factorial(n-1)
     \end{verbatim}
    \end{minipage}
    \\
    \hline
\end{tabular}\end{center}


\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Implemente como funções Python as funções soma acima
 (\texttt{def f\_1(x)}, etc).
 \item \emph{1 pt}. Implemente como funções Python as coeficientes dos 
 polinômios de Taylor (\texttt{def a\_1(n)}, etc).

 \item \emph{2 pts}.
 Para cada uma dos polinômios acima e $x=0.25$,
 calcule os valores do polinômio de Taylor de ordem
 $n=1,2,5,10,20,50,100$. Para cada um deles, gerar uma tabela
 tendo colunas: $x$, a ordem do polinômio ($n$), o valor das
 funções soma ($f_n(x)$), o valor do polinômio de Taylor ($P_n(x)$),
 e os erros absolutos, relativos e percentuais. Veja a tabela abaixo.
 
\begin{center}
\scalebox{0.7}{

\begin{tabular}{cccccccccc}
$t$ & $x_i(t)$ & $x'_{ana}(t)$ & $x'_{num}(t)$ & $r_a$ & $r_r$ & $x''_{ana}(t)$ & $x''_{num}(t)$ & $r_a$ & $r_r$\\\hline
1.000000 & 0.841471 & 1.381773 & 1.381773 & 1.996181e-13 & 1.444652e-13 & 0.239134 & 0.239142 & 8.412576e-06 & 3.517939e-05\\
2.000000 & 1.818595 & 0.077004 & 0.077004 & 2.461331e-11 & 3.196378e-10 & -2.650889 & -2.650880 & 9.010848e-06 & 3.399180e-06\\
5.000000 & -4.794621 & 0.459387 & 0.459387 & 6.505962e-11 & 1.416228e-10 & 5.361946 & 5.361933 & 1.262451e-05 & 2.354465e-06\\
10.000000 & -5.440211 & -8.934736 & -8.934736 & 6.914931e-09 & 7.739379e-10 & 3.762068 & 3.761436 & 6.324433e-04 & 1.681105e-04\\
\hline
\end{tabular}

}
\end{center}

 \end{enumerate}




