\begin{center}
     \begin{tabular}{ll}
       \textbf{Curso:}       & Estat\'istica\\
       \textbf{Data:}       & 17/07/2018\\
       \textbf{Disciplina:}       & C\'alculo Num\'umerico\\
       \textbf{Pasta Resposta:}       & Prova\_II\\
       \textbf{Prova:}       & Substituitiva\\
    \end{tabular}
\end{center}
\begin{small}
\begin{enumerate}
\item{Arquivo resposta: N01.py.
Considere a função:

\[
 f(x)=\cos{x}-\frac{1}{3}
\]

Estamos a procura da raíz, $f(x_0)=0$, no intervalo $I_0=]0,\pi[$. Temos:
\[
 x_0=\Arccos{x}
\]


\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Usando como intervalo inicial $I_0$, encontre estimativos
 para a raíz $x_0$, usando o algoritmo de Bisecção, e 
 $\varepsilon=10^{-3},10^{-4},10^{-5},10^{-6},10^{-7},10^{-8}$,
 gerando uma tabela exibindo a $\varepsilon$, 
 o número de iterações ($i$), o valor analítica, $x_a$, 
 o valor estimado, $x_n$, alem dos erros absolutos e relativos:
 
\begin{tabular}{cccccc}
$\varepsilon$ & $i$ & $x_a$ & $x_n$ & $r_a$ & $r_r$\\
\hline
1.00e-03 & 9 & 1.230959417341 & 1.230252591884 & 7.068255e-04 & 5.742070e-04\\
1.00e-04 & 11 & 1.230959417341 & 1.231019582278 & 6.016494e-05 & 4.887646e-05\\
1.00e-05 & 17 & 1.230959417341 & 1.230959661154 & 2.438129e-07 & 1.980674e-07\\
1.00e-06 & 17 & 1.230959417341 & 1.230959661154 & 2.438129e-07 & 1.980674e-07\\
1.00e-07 & 23 & 1.230959417341 & 1.230959473900 & 5.655941e-08 & 4.594742e-08\\
1.00e-08 & 25 & 1.230959417341 & 1.230959427087 & 9.746033e-09 & 7.917429e-09\\
\hline
\end{tabular}

 \item \emph{1 pt}. Repita a questão anterior, mas usando o algoritmo de Posição Falsa.
 \item \emph{1 pt}. Repita a questão anterior, mas usando o algoritmo de Newton Raphson
 com ponto inicial $\pi/4$.

 \end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N02.py.

Para as Séries de Potência ou Polinômios de Taylor abaixo, 
encontramos as seguintes funções soma:

\[
(1):\quad
 \sum_{1}^{+\infty} \frac{2^n}{n} x^{n}
 =
 -\log{(1-2x)},
 ~|x|<\frac{1}{2}
\]
\[
(2):\quad
 \sum_{1}^{+\infty} \frac{1}{(n+3)!} x^{n}
 =
 \frac{1}{x^3}
 \left(
    e^x-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-x-1
 \right),
 ~|x| \in \mathbb{R}
\]
\[
(3):\quad
 \sum_{1}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}
 =
 -\frac{x^2}{1+x^2},
 ~|x|<1
\]

Gostariamos verificar numericamente estes resultados. Veja o código abaixo:


\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
   \hline
   \begin{minipage}[t]{0.35\textwidth}
      \begin{verbatim}
def Sum(a,n,x):
    summ=0.0
    
    xi=x
    for i in range(1,n):
        summ+=a(i)*xi
        xi*=x

    return summ
      \end{verbatim}
    \end{minipage}
    &
   \begin{minipage}[t]{0.35\textwidth}
      \begin{verbatim}
def Factorial(n):
    if (n<2): return 1.0

    return n*Factorial(n-1)
     \end{verbatim}
    \end{minipage}
    \\
    \hline
\end{tabular}\end{center}


\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt}. Implemente como funções Python as funções soma acima
 (\texttt{def f\_1(x)}, etc).
 \item \emph{1 pt}. Implemente como funções Python as coeficientes dos 
 polinômios de Taylor (\texttt{def a\_1(n)}, etc).

 \item \emph{2 pts}.
 Para cada uma dos polinômios acima e $x=0.25$,
 calcule os valores do polinômio de Taylor de ordem
 $n=1,2,5,10,20,50,100$. Para cada um deles, gerar uma tabela
 tendo colunas: $x$, a ordem do polinômio ($n$), o valor das
 funções soma ($f_n(x)$), o valor do polinômio de Taylor ($P_n(x)$),
 e os erros absolutos, relativos e percentuais. Veja a tabela abaixo.
 
\begin{center}
\scalebox{0.7}{

\begin{tabular}{cccccccccc}
$t$ & $x_i(t)$ & $x'_{ana}(t)$ & $x'_{num}(t)$ & $r_a$ & $r_r$ & $x''_{ana}(t)$ & $x''_{num}(t)$ & $r_a$ & $r_r$\\\hline
1.000000 & 0.841471 & 1.381773 & 1.381773 & 1.996181e-13 & 1.444652e-13 & 0.239134 & 0.239142 & 8.412576e-06 & 3.517939e-05\\
2.000000 & 1.818595 & 0.077004 & 0.077004 & 2.461331e-11 & 3.196378e-10 & -2.650889 & -2.650880 & 9.010848e-06 & 3.399180e-06\\
5.000000 & -4.794621 & 0.459387 & 0.459387 & 6.505962e-11 & 1.416228e-10 & 5.361946 & 5.361933 & 1.262451e-05 & 2.354465e-06\\
10.000000 & -5.440211 & -8.934736 & -8.934736 & 6.914931e-09 & 7.739379e-10 & 3.762068 & 3.761436 & 6.324433e-04 & 1.681105e-04\\
\hline
\end{tabular}

}
\end{center}

 \end{enumerate}




}
\item{Arquivo resposta: N03.py.

Considere a matriz:
\[
 \Matrix{A}=
 \begin{pmatrix}
    -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
     \frac{1}{2} &-1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
     \frac{1}{2} & \frac{1}{2} &-1 & \frac{1}{2}\\
     \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} &-1\\
 \end{pmatrix}
\]


\begin{enumerate}
 \item \emph{1pt.} Resolver as equações lineares, 
 $\Matrix{A}~\Vector{x}_i=\Vector{e}_i$, para os lados direitos:
 \[
  \Vector{e}_0=
  \begin{pmatrix}
    1\\0\\0\\0
 \end{pmatrix},
 \quad
 \Vector{e}_1=
  \begin{pmatrix}
    0\\1\\0\\0
 \end{pmatrix},
 \quad
 \Vector{e}_2=
  \begin{pmatrix}
    0\\0\\1\\0
 \end{pmatrix},
 \quad
 \Vector{e}_3=
  \begin{pmatrix}
    0\\0\\0\\1
 \end{pmatrix}.
 \]
 
 Exibe (print) \emph{somente} os vetores, $x_i$!
 
 \emph{Hint!} Lembre-se de chamar \texttt{Matrix\_Copy} dentro do laço.
 
 \item \emph{1pt.} Encontrar a matriz inversa, $\Matrix{A}^{-1}$.
 
 Exibe (print) \emph{somente} a matriz inversa!
 
 \item \emph{1pt.} Implemente um trecho de código python, que calcula as matrices
 $\Matrix{A}^5$, $\Matrix{A}^{10}$ e $\Matrix{A}^{15}$.
 
 Exibe (print) \emph{somente} as matrices citadas!
 \end{enumerate}
}
\item{Arquivo resposta: N04.py.

Considere as funções:
\[
   x_1(t)=
   t \cos{t},
   \qquad
   x_1(t)=
   t \sin{t},
   \qquad
   x_3(t)=
   t^4.
   \qquad
\]

\begin{enumerate}
 \item \emph{1 pt.} Implementar como funções Python, as funções 
 $x_1(t)$, $x_2(t)$ e $x_3(t)$. Implemente também suas primeira
 e segunda derivadas.
 
 \item \emph{2 pts.} Para $t=1,2,5,10$, calcular aproximações
 numéricas para as primeira e segunda derivadas das 
 no item anterior. Calcule, para ambas, os resíduos absoluto 
 e relativo, gerando uma tabela como abaixo:
 
 \begin{center}
 
 
\scalebox{0.7}{
\begin{tabular}{cccccccccc}
$t$ & $x_1(t)$ & $x'_{ana}(t)$ & $x'_{num}(t)$ & $r_a$ & $r_r$ & $x''_{ana}(t)$ & $x''_{num}(t)$ & $r_a$ & $r_r$\\\hline
1.000000 & 0.841471 & 1.381773 & 1.381773 & 1.996181e-13 & 1.444652e-13 & 0.239134 & 0.239142 & 8.412576e-06 & 3.517939e-05\\
2.000000 & 1.818595 & 0.077004 & 0.077004 & 2.461331e-11 & 3.196378e-10 & -2.650889 & -2.650880 & 9.010848e-06 & 3.399180e-06\\
5.000000 & -4.794621 & 0.459387 & 0.459387 & 6.505962e-11 & 1.416228e-10 & 5.361946 & 5.361933 & 1.262451e-05 & 2.354465e-06\\
1.000000 & 0.841471 & 1.381773 & 1.381773 & 1.996181e-13 & 1.444652e-13 & 0.239134 & 0.239142 & 8.412576e-06 & 3.517939e-05\\
\hline
\end{tabular}
}
 \end{center}

\end{enumerate}
}
\end{enumerate}
\end{small}
