\itemtitle
{
Admitidos apenas os três axiomas de incidência, é possível provar que retas paralelas existem? 
Tente construir duas retas paralelas.
}

\itemtext
{
Façamos algumas especulações. 

\begin{Affirmation}
 Retas paralelas existem. É impossível prová-la. 
\end{Affirmation}

Basta dar um contra-exemplo: 
modelo em que os pontos são as letras $A$, $B$ e $C$; 
e as retas são os conjuntos $\{A, B\}$, $\{A, C\}$ e $\{B, C\}$. 
Neste modelo não existem retas paralelas.
Se fosse possível provar a afirmação 1, em qualquer modelo teria que haver retas paralelas.

\begin{Affirmation}
   Retas paralelas não existem. Esta é a negação da afirmação 1 e também é impossível prová-la.
\end{Affirmation}


Contra-exemplo: modelo em que os pontos são as letras $A$, $B$ e $C$; 
e as retas são os conjuntos $\{A, B\}$, $\{A, C\}$ e $\{B, C\}$, $\{A\}$. 
As retas $\{B, C\}$ e $\{A\}$ são paralelas. 
Se fosse possível provar a afirmação 2, em nenhum modelo existiriam retas paralelas. 

\textbf{Conclusão}. Nem é possível provar que existem, nem é possível provar que não existem,
estando presentes apenas os três axiomas de incidência.
Dizemos que "Retas paralelos existem" é uma afirmação indecidível, isto é,
não é possível provar que ela é verdadeira, nem que ela é falsa.
Outra coisa: 
\textbf{uma definição por si só não garante a existência do objeto definido}. 
}
