\itemtitle
{No
\hyperref[roteiro:1]{Roteiro 1}, quando havia apenas os três axiomas de incidência, 
vimos que não é possível provar que qualquer reta possui mais de um ponto
(veja os itens
\hyperref[item:1:11]{11}
e \hyperref[item:1:26]{26}
do \hyperref[roteiro:1]{Roteiro 1}. 
Agora, acrescentados os dois axiomas de paralelismo, 
podemos provar que cada reta possui pelo menos dois pontos?}
\itemtext
{Resposta: sim. 

\begin{Theorem}
 \label{teo:1line2points}
 \input{02/TA}
\end{Theorem}

Hipótese: $r$ é uma reta qualquer\\
Tese: existem dois pontos em $r$ 
\begin{proof}
\hspace{1cm}\\
\vspace{-0.5cm}
\begin{enumerate}[(a)]
 \item Seja $r$ uma reta qualquer (hipótese). 
 \item Seja $P$ um ponto em $r$ e seja $A$ um ponto fora de $r$ (axioma \axiom{I}{1}).
 \item Seja $s$ a reta determinada por $P$ e $A$ (axioma \axiom{I}{2}). 
 \item Seja $B$ um ponto fora de $s$ (axioma \axiom{I}{1} aplicado à reta $s$). 
 \item Se $B$ está em $r$, a afirmação fica provada. 
 \item Se $B$ não está em $r$, seja $t$ uma reta paralela a $s$ por $B$ (axioma \axiom{P}{1}). 
\end{enumerate}

Agora vem a parte delicada da demonstração:
afirmo que a reta $t$ corta a reta $r$ num ponto que chamarei de $Q$ concluindo a 
demonstração de que $t$ tem pelo menos dois pontos, $P$ e $Q$. 
Por que $t$ corta a reta $r$? 
Prova por absurdo: 
se $t$ não cortasse $r$, 
então r seria paralela a $t$ e teríamos duas retas paralelas a $t$, 
passando pelo ponto $P$, a saber, as retas $r$ e $s$; 
isto contraria \axiom{P}{2}.
Logo, t tem que cortar $r$. 
Com isto fica provado que a reta $r$ tem dois pontos distintos:
$P$ e $Q$.  
\end{proof}

O símbolo $\square$ indica o fim da demonstração.
}

\input{02/06/Fig}
