\itemtitle
{
Cada reta possui o mesmo número de pontos. 
Certo? Sim.
}
\itemtext
{
\begin{Theorem}
\label{teo:line.k.points}
 \input{02/TC}
\end{Theorem}


}
\begin{proof}
Com relação às posições relativas de $r$ e $s$, temos dois casos a considerar:
$s$ intercepta $r$, e $s$ é paralela a $r$.

1$^o$ caso ($r$ intercepta $s$).

\begin{enumerate}[(a)]
 \item Sejam $A_1$, $A_2$, ..., $A_k$ os pontos de $r$, sendo que $A$, pertence também a s. 
 \item Seja $B_2$ outro ponto de $s$ (Teorema \ref{teo:1line2points}). 
 \item Seja $t_2$ a reta determinada por $A_2$ e $B_2$. 
 \item Sejam agora $t_3$, ..., $t_k$ retas paralelas a $t_2$ passando pelos pontos 
       $A_3$, ..., $A_k$, respectivamente (axioma \axiom{P}{1}). 
       (Por que essas retas são paralelas entre si? O axioma \axiom{P}{2} serve para provar isto?)
 \item Essas retas cortam $s$ em pontos $B_3$,..., $B_k$, respectivamente 
       (por que cortam? O lema da transversal se aplica?). 
\end{enumerate}

\input{02/12/Fig}

Um ponto delicado é provar que os pontos $B$; são distintos (prove por absurdo).
 Em suma, até agora exibimos $k$ pontos distintos em $s$.
 Isto prova o que queremos? Ainda não.
 Resta provar que, além desses $k$ pontos, não existem outros pontos em $s$.
 Como? Segue uma demonstração por absurdo. 
Suponhamos que existe um outro ponto $C$ em $s$, distinto dos $B$. 

\begin{enumerate}[(a)]
 \item Seja $t$ uma reta paralela a $t_2$ passando por $C$ (axioma \axiom{P}{1}).
 \item Então $t$ corta $r$ (por que?), num ponto $D$.
 \item O ponto $D$ é distinto dos pontos $A_1$ (por que?). 
 \item Isto contraria o fato de que $r$ põssui apenas os pontos $A$. 
       Logo, $s$ não pode possuir um ponto $C$ distinto dos $B_1$, 
       concluindo a demonstração deste caso.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proof}
2$^o$ caso ($r$ é paralela a $s$).
 
\begin{enumerate}[(a)]
 \item Seja $B_1$ um ponto de s (axioma \axiom{I}{1}). 
 \item Seja $t_1$ a reta determinada por $A_1$ e $B_1$. 
 \item Seja agora $t_2$ a reta que passa por $A_2$. 
 \item Agora, a demonstração continua como no 1$^o$ caso.
\end{enumerate}
\end{proof}
