\itemtitle
{
Construindo um modelo em que cada reta possui exatamente 3 pontos. 
 }
 
 \itemtext
 {
Pontos para começar: 
as letras $A$, $B$ e $C$. Reta $r_1$ = $\{A, B, C\}$

Ponto fora de $r_1$: a letra $D$. 

Precisamos de reta paralela a $r_1$, pelo ponto $D$. 

Isto obriga que se tenha uma reta $r_2$ = $\{D, E, F\}$ .

Precisamos de reta que contém $A$ e $D$. Isto obriga criar mais uma reta $r_3 $= $\{A, D, G\}$.

Precisamos de reta paralela à $r_1$ e à $r_2$, passando por G. Isto obriga $r_4$ = $\{G, H, I\}$.

Até agora temos 9 pontos: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$. 
O esquema abaixo sugere 12 retas: 
$\{A, B, C\}$, $\{D, E, F\}$, $\{G, H, I\}$, $\{A, D, G\}$, 
$\{B, E, H\}$ , $\{C, F, I\}$, $\{A, E, I\}$, $\{G, E, C\}$, 
$\{B, F, G\}$, $\{C, D, H\}$, $\{D, B, I\}$, $\{A, H, F\}$.
O leitor pode se reportar à figura abaixo, para se convencer de que os 5 axiomas estão satisfeitos. 

Neste modelo, observe o seguinte: 
\begin{enumerate}
 \item a quantidade de pontos de cada reta é $k = 3$; 
 \item a quantidade de retas que passam por um dado ponto é $m = 4$;
 \item a quantidade de pontos é $n = 9$; 
 \item a quantidade de retas é $r= 12$. Será coincidência que $n = k^2$ e $r = mk$? 
\end{enumerate}

\input{02/13/Fig}
 
}
