\itemtitle
{
\begin{Theorem}
 \label{teo:point.m.lines}
 \input{02/TD}
\end{Theorem}

}

\itemtext
{


\begin{proof}

Sejam $r_1$, $r_2$, ..., $r_m$ as retas que passam por $A$. 
Suponhamos que $r_1$ é a reta que também passa por $B$.
Sejam $s_2$, ..., $s_m $ as retas paralelas a $r_2$, ..., $r_m$,
respectivamente, por $B$. 

\input{02/14/Fig}




Afirmamos que as retas $s_i$ são distintas duas a duas.
De fato, se duas delas coincidissem, digamos, $s_i=s_j$, então pelo ponto $A$ teríamos duas retas,
$r_i$ e $r_j$, paralelas a uma reta $s_i$, contrariando o Axioma \axiom{P}{2}.
Logo, as retas $s_i$ são distintas duas a duas.
Portanto, pelo ponto $B$ passam pelo menos $m$ retas distintas (veja a figura abaixo).
Mas a demonstração ainda não terminou.
Pode passar por $B$ mais uma reta, digamos $s$, distintas das anteriores?
Não. Porque se fosse assim, tomaríamos por $A$ uma reta $t$ paralela a $s$,
que não poderia coincidir com nenhuma das anteriores $t_i$ (se coincidisse, \axiom{P}{2} seria contrariado),
e desta maneira teríamos mais uma reta passando por $A$, 
contrariando a hipótese de que por $A$ passam $m$ retas. 
\end{proof}
}
