\itemtitle
{
   Novo enunciado para o Axioma \axiom{I}{1}.
}

\itemtext
{
Uma característica que um axioma deve ter é 
a de que ele não pode ser provado,
a partir dos demais axiomas. 
Em outras palavras, cada axioma é 
\textbf{independente}
dos demais. 
Nesta unidade, foram introduzidos mais dois axiomas,
os axiomas de paralelismo. 
Vamos reexaminar o Axioma \axiom{I}{1}.

Faço a seguinte afirmação: 
Com os axiomas 
\axiom{I}{2}, \axiom{I}{3}, \axiom{P}{1} e \axiom{P}{2} 
e com a parte (b) da tese do Axioma \axiom{I}{1}
é possível provar que cada reta possui pelo menos um ponto 
(que é a parte (a) da tese do Axioma \axiom{I}{1}).
A figura abaixo ilustra os cinco passos da demonstração. 

Em (1), tomamos uma reta qualquer $r$ (hipótese).

Em (2), aplicamos a parte (b) da tese do Axioma \axiom{I}{1} para tomar o ponto $A$ fora de $r$. 

Em (3), aplicamos o Axioma \axiom{P}{1} para traçar a reta $s$ paralela a $r$, pelo ponto $A$. 

Em (4), aplicamos a parte (b) de \axiom{I}{1} para tomar o ponto $B$ fora de $s$ e já aplicamos o Axioma \axiom{I}{2} 
       para traçar a reta $t$ que contém os pontos $A$ e $B$.

Finalmente, em (5), aplicamos o Lema da transversal para garantir que a transversal $t$ corta a reta $r$ no ponto $C$, 
       concluindo a demonstração.

Com isto, o enunciado do Axioma \axiom{I}{1} passa a ser mais simples: 


\input{02/15/Fig}



\begin{Axiom}[Axioma \axiom{I}{1}, novo]
  \input{01/I1.2}
\end{Axiom}


\textbf{Conclusão:}
Com a inclusão dos axiomas de paralelismo,
a parte (a) da tese do Axioma \axiom{I}{1} 
(que afirma a existência de ponto na reta)
pode ser retirada do seu enunciado, já que,
agora, esta parte pode ser provada. 
Na lista de
\hyperref[solution:2:2]{exercícios número 2},
convidamos o 
leitor para mostrar que cada um dos cinco axiomas
(sendo agora o axioma \axiom{I}{1} no novo enunciado)
é independente dos demais. 
Para mostrar que um axioma A é independente dos demais, 
constrói-se um modelo que satisfaz todos os axiomas,
exceto o axioma A. argumento por trás desta estratégia é o seguinte:
se o axioma A pudesse ser provado a partir dos demais axiomas,
o axioma A seria um teorema e, assim, seria válido em qualquer modelo que satisfizesse esses axiomas
(de acordo com a propriedade fundamental dos modelos). 
}



