Para uma função convenientemente diferenciável, $y=f(x)$, numa
vizinhança (intervalo) de um ponto, $x_0=0$, vale a
<I>Fórmula de Taylor</I>:

\[
    f(x)
    =
    f(0)
    +
    x f'(0)
    +
    \frac{x^2}{2!}f''(0)
    +...+
    \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)
    +
    \varepsilon_n(x)
\]

Escrevemos:

\[
   f(x)=P_n(x)+\varepsilon_n(x)
\]

O polinômio, $P_n(x)$ é chamado o 
<I>Polinômio do Taylor de ordem $n$</I>:
\[
   P_n(x)=
   a_0+a_1 x+...+a_n x^n,
   \quad
   a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}
\]

Para o erro, $\varepsilon_n(x)$ value:

\[
   |\varepsilon_n(x)| =
   \left| 
      \frac{ x^{n+1} }{(n+1)!} f^{(n+1)}(\xi)
   \right| 
\]

De fato, se deixamos $n \rightarrow +\infty$, obtemos a <I>Série de Potência</I>
da $f$:

\[
   f(x)=
   \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n
\]

valendo no intervalo de convergência, $x \in [-\lambda,\lambda]$.

Tomando a função $y=f(x)=\cos{x}$, temos:
\[
   a_{2n}=\frac{(-1)^n}{(2n)!},
   \quad
   a_{2n+1}=0,
   \qquad n \in \mathbb{N}_0
\]

Assim:
\[
   \begin{array}{lllll}
      P_0(x)
      &=&
      P_1(x)
      &=&
      1
      \\
      P_2(x)
      &=&
      P_3(x)
      &=&
      1-\frac{1}{2} x^2
      \\
      P_4(x)
      &=&
      P_5(x)
      &=&
      1-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{4!} x^4
      \\
      P_5(x)
      &=&
      P_6(x)
      &=&
      1-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\frac{1}{6!} x^6
      \\
   \end{array}
\]

Mais: a série de potência para $\cos{x}$ é (absolutamente) convergente
para $\forall x \in \mathbb{R}$.

Desenhe, usando TikZ, uma figura contendo
$y=f(x)$, junto com o polinômio de
Taylor, num intervalo da forma $[-\lambda,\lambda]$:

@List [a-z].html