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Algoritmo do Newton-Raphson

Na vizinhança de um ponto \(x_k \in I,\) vale o Fórmula de Taylor: \(f(x) \simeq f(x_k)+(x-x_k) f' (x_k)\) Pondo [;f(x)=0;], quando \(f'(x_k)\neq 0:\) \(x=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\) O que leva a função iterativa: \(\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\) Derivada: \(\varphi'(x)=\frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2}\) Supondo que em um intervalo, \(I,\) suficientementre pequeno e contendo uma raíz, \(\xi,\) e que \(f'(\xi) \neq 0, \) podemos fazer \(|\varphi'(x)|< 1.\) Ou seja, sobre estas condições, o algoritmo Newton-Raphson converge.