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Transformações de Curvas

Consideramos o Hiperbole, [;H;], com centro [; \underline{\textbf{p}}_c . ;], semi-eixos [;a,b>0.;] e abraçando o eixo [;x;].

Equação

[; \left( \frac{x-x_c}{a} \right)^2 - \left( \frac{y-y_c}{b} \right)^2 = 1 ;]

Parametrizações do Braço Direito:

[; H^+: \quad \underline{\textbf{r}}(t) - \begin{pmatrix} x_c\\y_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cosh{t} \\ b\sinh{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \sqrt{1+s^2 } \\ bs \end{pmatrix}, \quad t,s \in \mathbb{R} ;]

Funções Hiperbólicas:

[; \cosh{t}=\frac{e^t+e^{-t}}{2}, \qquad \sinh{t}=\frac{e^t-e^{-t}}{2} ;]

Assintodas:

[; \left( \frac{x-x_c}{a} \right)^2 - \left( \frac{y-y_c}{b} \right)^2 =0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x-x_c}{a} = \pm \frac{y-y_c}{b} ;]

O Braço Esquerdo:

A matriz representa uma Reflexão no eixo [;y;]:

[; \underline{\underline{A}} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} ;]

[; H^-: \quad \underline{\textbf{r}}^-(t) - \begin{pmatrix} x_c\\y_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a\cosh{t} \\ b\sinh{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a \sqrt{1+s^2 } \\ bs \end{pmatrix} = \underline{\underline{A}} ~ \underline{\textbf{r}}(t) ;]


                    ../../../Code/Hyperbola.py __Start__ __init__ R_Hyp R

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