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Para uma função convenientemente diferenciável, $y=f(x)$, numa vizinhança (intervalo) de um ponto, $x_0=0$, vale a Fórmula de Taylor: \[ f(x) = f(0) + x f'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) +...+ \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0) + \varepsilon_n(x) \] Escrevemos: \[ f(x)=P_n(x)+\varepsilon_n(x) \] O polinômio, $P_n(x)$ é chamado o Polinômio do Taylor de ordem $n$: \[ P_n(x)= a_0+a_1 x+...+a_n x^n, \quad a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \] Para o erro, $\varepsilon_n(x)$ value: \[ |\varepsilon_n(x)| = \left| \frac{ x^{n+1} }{(n+1)!} f^{(n+1)}(\xi) \right| \] De fato, se deixamos $n \rightarrow +\infty$, obtemos a Série de Potência da $f$: \[ f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \] valendo no intervalo de convergência, $x \in [-\lambda,\lambda]$. Tomando a função $y=f(x)=\cos{x}$, temos: \[ a_{2n}=\frac{(-1)^n}{(2n)!}, \quad a_{2n+1}=0, \qquad n \in \mathbb{N}_0 \] Assim: \[ \begin{array}{lllll} P_0(x) &=& P_1(x) &=& 1 \\ P_2(x) &=& P_3(x) &=& 1-\frac{1}{2} x^2 \\ P_4(x) &=& P_5(x) &=& 1-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{4!} x^4 \\ P_5(x) &=& P_6(x) &=& 1-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{4!} x^4-\frac{1}{6!} x^6 \\ \end{array} \] Mais: a série de potência para $\cos{x}$ é (absolutamente) convergente para $\forall x \in \mathbb{R}$. Desenhe, usando TikZ, uma figura contendo $y=f(x)$, junto com o polinômio de Taylor, num intervalo da forma $[-\lambda,\lambda]$:

$y=P_{0}(x)$ (um constante).
$y=P_{2}(x)$ (um parábole).
$y=P_{4}(x)$.
$y=P_{6}(x)$.
Uma série de potência é Uniformamente Convergente, no seu intervalo de convergência, $I$: \[ \forall N \in \mathbb{N}~~ \exists \epsilon>0: n>N \Rightarrow |f(x)-P_n(x)|<\epsilon, ~~\forall x \in I \] Geométricamente isso significa, que $P_n(x)$ encontra-se dentro de um 'sinto' de $\epsilon$ no redor do $f(x)$: \[ P_n(x)-\epsilon < f(x) < P_n(x)-\epsilon \] Desenhe, numa ficura só, a função $y=f(x)$, junto com o 'sinto': $y=f(x)\pm \epsilon$, além dos polinômios $P_0, P2, P4$ e $P_6$.
Escolhe valores 'razoáveis' para o $\epsilon$ (ou utilize o estimado para o erro no intervalo dado na equação acima).

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