Parallelism

1. \itemtitle{ Por que retas paralelas são interessantes? }
2. \itemtitle{ Como se definem retas paralelas? \begin{Definition} \label{def.parallel} Duas retas são \textbf{paralelas} se não têm ponto em comum. Duas retas se \textbf{interceptam} se não são paralelas, isto é, se têm ponto em comum. \end{Definition} }
3. \itemtitle{ Retas que se interceptam existem (admitidos apenas os três axiomas de incidência)? Sim. Para provar isto, vamos construir duas retas que se interceptam utilizando os axiomas dados até agora. } \itemtext { \input{02/03/Fig} Começamos com uma reta $r$, cuja existência está garantida pelo Teorema \ref{teo:existsline} do \hyperref[roteiro:1]{Roteiro 1}: \begin{enumerate}[i] \item Seja $A$ um ponto em $r$ e seja $B$ ponto fora de $r$ (Axioma \axiom{I}{1}). \item Seja $s$ a reta determinada por $A$ e $B$ (Axioma \axiom{I}{2}). \item As retas $r$ e $s$ são retas que se interceptam, pois têm o ponto $A$ em comum. \end{enumerate} Qualquer que seja o ponto $A$, existem pelo menos duas retas que passam por ele. Você é capaz de provar a afirmação? É possível provar que existem três retas passando por $A?$ }
4. \itemtitle { Admitidos apenas os três axiomas de incidência, é possível provar que retas paralelas existem? Tente construir duas retas paralelas. } \itemtext { Façamos algumas especulações. \begin{Affirmation} Retas paralelas existem. É impossível prová-la. \end{Affirmation} Basta dar um contra-exemplo: modelo em que os pontos são as letras $A$, $B$ e $C$; e as retas são os conjuntos $\{A, B\}$, $\{A, C\}$ e $\{B, C\}$. Neste modelo não existem retas paralelas. Se fosse possível provar a afirmação 1, em qualquer modelo teria que haver retas paralelas. \begin{Affirmation} Retas paralelas não existem. Esta é a negação da afirmação 1 e também é impossível prová-la. \end{Affirmation} Contra-exemplo: modelo em que os pontos são as letras $A$, $B$ e $C$; e as retas são os conjuntos $\{A, B\}$, $\{A, C\}$ e $\{B, C\}$, $\{A\}$. As retas $\{B, C\}$ e $\{A\}$ são paralelas. Se fosse possível provar a afirmação 2, em nenhum modelo existiriam retas paralelas. \textbf{Conclusão}. Nem é possível provar que existem, nem é possível provar que não existem, estando presentes apenas os três axiomas de incidência. Dizemos que "Retas paralelos existem" é uma afirmação indecidível, isto é, não é possível provar que ela é verdadeira, nem que ela é falsa. Outra coisa: \textbf{uma definição por si só não garante a existência do objeto definido}. }
5. \itemtitle { Já que é impossível provar que existem retas paralelas, se quisermos que elas existam teremos que declarar isto através de um axioma. Mas a experiência aconselha-nos a tomar um e declarar que retas paralelas existem. É melhor tratar da possibilidade de existência e de unicidade de reta paralela a uma reta dada por um ponto fora da reta. Enunciaremos a existência e a unicidade em axiomas separados. \begin{Axiom}[\axiom{P}{1}] \label{ax:P1} \input{02/P1} (Existência.) \end{Axiom} \begin{Axiom}[\axiom{P}{2}] \label{ax:P2} \input{02/P2} (Unicidade.) \end{Axiom} }
6. \itemtitle {No \hyperref[roteiro:1]{Roteiro 1}, quando havia apenas os três axiomas de incidência, vimos que não é possível provar que qualquer reta possui mais de um ponto (veja os itens \hyperref[item:1:11]{11} e \hyperref[item:1:26]{26} do \hyperref[roteiro:1]{Roteiro 1}. Agora, acrescentados os dois axiomas de paralelismo, podemos provar que cada reta possui pelo menos dois pontos?} \itemtext {Resposta: sim. \begin{Theorem} \label{teo:1line2points} \input{02/TA} \end{Theorem} Hipótese: $r$ é uma reta qualquer\\ Tese: existem dois pontos em $r$ \begin{proof} \hspace{1cm}\\ \vspace{-0.5cm} \begin{enumerate}[(a)] \item Seja $r$ uma reta qualquer (hipótese). \item Seja $P$ um ponto em $r$ e seja $A$ um ponto fora de $r$ (axioma \axiom{I}{1}). \item Seja $s$ a reta determinada por $P$ e $A$ (axioma \axiom{I}{2}). \item Seja $B$ um ponto fora de $s$ (axioma \axiom{I}{1} aplicado à reta $s$). \item Se $B$ está em $r$, a afirmação fica provada. \item Se $B$ não está em $r$, seja $t$ uma reta paralela a $s$ por $B$ (axioma \axiom{P}{1}). \end{enumerate} Agora vem a parte delicada da demonstração: afirmo que a reta $t$ corta a reta $r$ num ponto que chamarei de $Q$ concluindo a demonstração de que $t$ tem pelo menos dois pontos, $P$ e $Q$. Por que $t$ corta a reta $r$? Prova por absurdo: se $t$ não cortasse $r$, então r seria paralela a $t$ e teríamos duas retas paralelas a $t$, passando pelo ponto $P$, a saber, as retas $r$ e $s$; isto contraria \axiom{P}{2}. Logo, t tem que cortar $r$. Com isto fica provado que a reta $r$ tem dois pontos distintos: $P$ e $Q$. \end{proof} O símbolo $\square$ indica o fim da demonstração. } \input{02/06/Fig}
7. \itemtitle { Observação. O ponto delicado da demonstração do item anterior requer perceber e demonstrar um fato que, por si mesmo, tem um interesse especial. Quando isto acontece ao longo de uma demonstração, costuma-se isolar o fato e enunciá-lo na forma de "lema". Com um lema, isolamos um ponto delicado de uma demonstração, a fim de tornar mais compreensível um argumento que, de outra maneira, ficaria mais complexo e, assim, mais difícil de ser acompanhado pelo leitor. O seu enunciado está no item seguinte. }
8. \begin{Lemma}[Lema da transversal] \label{lemma:transversal} \input{02/LT} (A reta $t$ é chamada de transversal.) \end{Lemma} \begin{proof} Faça você mesmo (veja o último parágrafo da demonstração do item 6). \end{proof} \input{02/08/Fig}
9. \itemtitle { É impossível provar que qualquer reta possui três pontos. Basta exibir um modelo em que cada reta possui dois pontos, satisfazendo os cinco axiomas. Aqui está: os pontos são $A$, $B$, $C$ e $D$ e as retas, $\{A, B\}$, $\{A, C\}$, $\{A, D\}$, $\{B, C\}$, $\{B, D\}$, $\{C, D\}$. A figura abaixo é uma representação esquemática deste modelo. Cada segmento entre duas letras indica a reta constituída pelas duas letras. Embora os segmentos que representam as retas $\{A, C\}$ e $\{B, D\}$ parecem se interceptar, essas retas são paralelas por que não têm ponto em comum. } \itemtext{ \input{02/09/Fig} Aproveito o ensejo para tocar numa questão metodológica. Os livros textos matemáticos costumam organizar a matéria numa hierarquia tal que todos os teoremas necessários para a demonstração de um novo teorema aparecem antes deste. Se fosse seguir esta orientação, o Lema que aparece na demonstração acima deveria vir antes dela. Fiz desta maneira para mostrar que é possível e, às vezes aconselhado do ponto de vista pedagógico, abordar uma questão antes que todos os pré-requisitos estejam prontos. Além disto, em consonância com o objetivo geral da disciplina, procuro estar dando uma idéia de que a construção não se dá de maneira linear, mas num processo de idas e vindas. }