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L A T E X

Para uma função convenientemente diferenciável,

y = f (x)

, numa vizinhança (intervalo) de um ponto,

x_{0} = 0

, vale a Fórmula de Taylor:

f (x) = f (0) + x f^{'} (0) + \frac{x^{2}}{2!} f^{″} (0) + . . . + \frac{x^{n}}{n!} f^{(n)} (0) + ε_{n} (x)

Escrevemos:

f (x) = P_{n} (x) + ε_{n} (x)

O polinômio,

P_{n} (x)

é chamado o Polinômio do Taylor de ordem $n$ :

P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} x + . . . + a_{n} x^{n}, a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!}

Para o erro,

ε_{n} (x)

value:

| ε_{n} (x) | = | \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} f^{(n + 1)} (ξ) |

De fato, se deixamos

n \to + \infty

, obtemos a Série de Potência da

f

f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}

valendo no intervalo de convergência,

x \in [- λ, λ]

. Tomando a função

y = f (x) = \cos x

, temos:

a_{2 n} = \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!}, a_{2 n + 1} = 0, n \in N_{0}

Assim:

\begin{array}{lllll} P_{0} (x) & = & P_{1} (x) & = & 1 \\ P_{2} (x) & = & P_{3} (x) & = & 1 - \frac{1}{2} x^{2} \\ P_{4} (x) & = & P_{5} (x) & = & 1 - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} \\ P_{5} (x) & = & P_{6} (x) & = & 1 - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \frac{1}{6!} x^{6} \end{array}

Mais: a série de potência para

\cos x

é (absolutamente) convergente para

\forall x \in R

. Desenhe, usando TikZ, uma figura contendo

y = f (x)

, junto com o polinômio de Taylor, num intervalo da forma

[- λ, λ]

$y = P_{0} (x)$ (um constante).
$y = P_{2} (x)$ (um parábole).
$y = P_{4} (x)$ .
$y = P_{6} (x)$ .
Uma série de potência é Uniformamente Convergente, no seu intervalo de convergência, $I$ : $\forall N \in N \exists ϵ > 0 : n > N \Rightarrow | f (x) - P_{n} (x) | < ϵ, \forall x \in I$ Geométricamente isso significa, que $P_{n} (x)$ encontra-se dentro de um 'sinto' de $ϵ$ no redor do $f (x)$ : $P_{n} (x) - ϵ < f (x) < P_{n} (x) - ϵ$ Desenhe, numa ficura só, a função $y = f (x)$ , junto com o 'sinto': $y = f (x) \pm ϵ$ , além dos polinômios $P_{0}, P 2, P 4$ e $P_{6}$ .
Escolhe valores 'razoáveis' para o $ϵ$ (ou utilize o estimado para o erro no intervalo dado na equação acima).

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